1 H σφαίρα και τα στοιχεία της
 |
 |
| Η περιστροφή ενός κύκλου ……. | ….. γύρω από μια διάμετρό του ….. |
 |
 |
| …… παράγει μια σφαίρα | Σφαίρα και επίπεδο εφάπτονται |
 |
 |
| Σφαίρα και επίπεδο δεν έχουν κανένα κοινό σημείο | Το επίπεδο τέμνει τη σφαίρα κατά έναν κύκλο |
Η σφαίρα ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος όλων των σημείων του τρισδιάστατου χώρου που απέχουν μια σταθερή απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο. Αποτελεί το πλέον τέλειο και συμμετρικό σχήμα στον Ευκλείδειο χώρο και αντιπροσωπεύει μια δισδιάστατη κλειστή επιφάνεια με σταθερή καμπυλότητα. Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της, το οποίο απέδειξε ο Αρχιμήδης, είναι ότι δεν διαθέτει επίπεδο ανάπτυγμα, δηλαδή δεν μπορεί να “ξεδιπλωθεί” σε μια επίπεδη επιφάνεια χωρίς παραμόρφωση, σε αντίθεση με τον κύλινδρο ή τον κώνο.
Επίσης σαν σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί η επιφάνεια που διαγράγεται αν περιστρέψουμε ένον κύκλο γύρω από μια διαμετρό του \(180^ο\)
Τα βασικά στοιχεία που ορίζουν τη σφαίρα είναι τα εξής:
- Κέντρο (\(K\) ή \(O\)): Το σταθερό σημείο από το οποίο ισαπέχουν όλα τα σημεία της σφαιρικής επιφάνειας. Το κέντρο αποτελεί το σημείο συμμετρίας του στερεού.
- Ακτίνα (\(ρ\) ή \(r\)): Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το κέντρο με οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας. Όλες οι ακτίνες μιας σφαίρας είναι εξ ορισμού ίσες.
- Διάμετρος (\(\delta\) ή \(d\)): Το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο και συνδέει δύο σημεία της επιφάνειας. Είναι διπλάσια της ακτίνας (\(\delta = 2\rho\)) και αποτελεί τη μέγιστη δυνατή απόσταση μεταξύ δύο σημείων της σφαίρας.
- Μέγιστος Κύκλος: Η τομή της σφαίρας με ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της. Η ακτίνα του μέγιστου κύκλου συμπίπτει με την ακτίνα της σφαίρας.
- Μικρός Κύκλος: Κάθε κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με ένα επίπεδο που δεν διέρχεται από το κέντρο.
- Ημισφαίριο: Καθεμία από τις δύο ίσες σφαιρικές περιοχές στις οποίες χωρίζει τη σφαίρα ένας μέγιστος κύκλος.
Σχετικά με τα μετρικά χαρακτηριστικά της σφαίρας:
- Το Εμβαδόν της επιφάνειας (\(E\)) δίνεται από τον τύπο \(E = 4\pi\rho^2\) και είναι τετραπλάσιο από το εμβαδόν ενός μεγίστου κύκλου της.
- Ο Όγκος (\(V\)), που αντιπροσωπεύει τη χωρητικότητα του στερεού, υπολογίζεται ως \(V = \dfrac{4}{3}\pi\rho^3\).
Στην αυστηρή μαθηματική ορολογία, ο όρος μπάλα (ή συμπαγής σφαίρα) αναφέρεται στο σύνολο των εσωτερικών σημείων, ενώ ο όρος σφαιρικός φλοιός αναφέρεται αποκλειστικά στην επιφάνεια.
1.1 Οι τύποι υπολογισμού του εμβαδού και του όγκου
Η δικαιολόγηση των τύπων για το εμβαδό και τον όγκο της σφαίρας έχει βαθιές ιστορικές ρίζες στις μελέτες του Αρχιμήδη, αλλά εξηγείται και μέσω σύγχρονων μαθηματικών μεθόδων (απειροστικός λογισμός).
1. Εμβαδόν Επιφάνειας (\(E = 4\pi\rho^2\)) Ο τύπος που υπολογίζει το εμβαδό της επιφάνειας μιας σφαίρας δικαιολογείται με τους εξής τρόπους:
- Ιστορική Απόδειξη (Αρχιμήδης): Ο Αρχιμήδης απέδειξε πριν από περίπου 2.200 χρόνια ότι το εμβαδόν μιας σφαιρικής επιφάνειας είναι ίσο με την παράπλευρη επιφάνεια του περιγεγραμμένου κυλίνδρου (ενός κυλίνδρου με διάμετρο βάσης και ύψος ίσα με τη διάμετρο της σφαίρας).
- Σχέση με τον Μέγιστο Κύκλο: Το εμβαδόν της επιφάνειας είναι ακριβώς τετραπλάσιο από το εμβαδόν ενός μεγίστου κύκλου της σφαίρας (\(E_{κυκλ} = \pi\rho^2\)).
- Διαφορική Σχέση: Από τη σκοπιά του λογισμού, η επιφάνεια της σφαίρας αποτελεί την παράγωγο του όγκου της ως προς την ακτίνα. Αυτό σημαίνει ότι αν αυξήσουμε την ακτίνα κατά μια απειροελάχιστη ποσότητα, ο όγκος θα αυξηθεί κατά μια ποσότητα ίση με την επιφάνειά της.
2. Όγκος Σφαίρας (\(V = \frac{4}{3}\pi\rho^3\)) Ο υπολογισμός του χώρου που καταλαμβάνει η σφαίρα βασίζεται στις παρακάτω γεωμετρικές αρχές:
- Η Σχέση Σφαίρας-Κυλίνδρου: Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι ο όγκος μιας σφαίρας είναι τα 2/3 του όγκου του περιγεγραμμένου κυλίνδρου. Η ανακάλυψη αυτή θεωρήθηκε τόσο σπουδαία από τον ίδιο, που ζήτησε να χαραχθεί το σχήμα της σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο στον τάφο του.
- Μέθοδος των Ολοκληρωμάτων: Ο όγκος μπορεί να δικαιολογηθεί ως το άθροισμα (ολοκλήρωμα) άπειρων στοιχειωδών σφαιρικών φλοιών (κελυφών). Αν θεωρήσουμε κάθε φλοιό με επιφάνεια \(4\pi r^2\) και απειροελάχιστο πάχος \(dr\), η ολοκλήρωση από \(r=0\) έως \(R\) δίνει ακριβώς το αποτέλεσμα \(\frac{4}{3}\pi R^3\).
- Σύγκριση με άλλα Στερεά: Στο πλαίσιο των γεωμετρικών στερεών, ο όγκος της σφαίρας συνδέεται άμεσα με την ακτίνα της, καθώς αν διπλασιάσουμε την ακτίνα, ο όγκος οκταπλασιάζεται (επειδή εξαρτάται από τον κύβο της ακτίνας).
Συνοπτικά, οι τύποι αυτοί δεν είναι αυθαίρετοι αλλά προκύπτουν από τη σύγκριση της σφαίρας με τον κύλινδρο και την εφαρμογή της αρχής ότι ο όγκος ενός στερεού αυξάνεται ανάλογα με την επιφάνεια που τον περιβάλλει.
1.2 Ασκήσεις
1.3 Απλές Ασκήσεις Σφαίρας
- Βασικός Υπολογισμός: Η διάμετρος μιας σφαίρας είναι \(\delta = 4\) cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειάς της και τον όγκο της.
- Απάντηση: Η ακτίνα είναι \(\rho = 2\) cm. \(E = 16\pi\) \(cm^2\) και \(V = \frac{32\pi}{3}\) \(cm^3\).
- Εύρεση Ακτίνας από Όγκο: Αν ο όγκος μιας σφαίρας είναι \(V = 36\pi\) \(m^3\), να βρείτε την ακτίνα της και το εμβαδόν της επιφάνειάς της.
- Απάντηση: Από τον τύπο του όγκου προκύπτει \(\rho = 3\) m. Το εμβαδόν είναι \(E = 36\pi\) \(m^2\).
- Σύγκριση με Κυκλικό Δίσκο: Ποιος είναι ο λόγος του εμβαδού της επιφάνειας μιας σφαίρας ακτίνας \(\rho\) προς το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου με την ίδια ακτίνα;.
- Απάντηση: Ο λόγος είναι 4, καθώς \(E_{σφ} = 4\pi\rho^2\) και \(E_{κυκλ} = \pi\rho^2\).
- Μεταβολή Ακτίνας: Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, πώς μεταβάλλεται ο όγκος της;.
- Απάντηση: Ο όγκος οκταπλασιάζεται (\(2^3 = 8\)), σύμφωνα με τον τύπο \(V = \frac{4}{3}\pi\rho^3\).
- Άσκηση Ημισφαιρίου: Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο ενός ημισφαιρίου ακτίνας \(ρ = 4\) m.
- Απάντηση: Το εμβαδόν της καμπύλης επιφάνειας είναι το μισό της σφαίρας, δηλαδή \(E = 32\pi\) \(m^2\), και ο όγκος \(V = \frac{128\pi}{3}\) \(m^3\).
- Πρακτική Εφαρμογή: Μια σφαιρική δεξαμενή ακτίνας \(\rho = 10\) m πρέπει να βαφτεί. Αν ένα κιλό χρώματος καλύπτει \(8\) \(m^2\), πόσα κιλά χρώμα θα χρειαστούν;.
- Απάντηση: Το εμβαδόν είναι \(E \approx 1256\) \(m^2\). Θα χρειαστούν \(157\) κιλά χρώμα (\(1256 : 8\)).
1.4 Ασκήσεις Συνδυασμένων Σχημάτων
Σφαίρα σε Κύβο: Σε ένα κιβώτιο σχήματος κύβου χωράει ακριβώς μια σφαίρα ακτίνας \(40\) cm. Να βρείτε τον όγκο του μέρους του κιβωτίου που μένει άδειο.
- Λύση: Η ακμή του κύβου είναι \(80\) cm. \(V_{κύβου} = 512.000\) \(cm^3\) και \(V_{σφαίρας} \approx 267.947\) \(cm^3\). Ο άδειος χώρος είναι \(244.053\) \(cm^3\).
Σφαίρα σε Κύλινδρο: Μια σφαίρα ακτίνας \(\rho\) εγγράφεται ακριβώς σε κύλινδρο (δηλαδή ο κύλινδρος έχει ύψος \(2\rho\) και ακτίνα βάσης \(\rho\)). Ποια είναι η σχέση της επιφάνειας της σφαίρας με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου;.
- Απάντηση: Είναι ίσες. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι η επιφάνεια της σφαίρας ισούται με την παράπλευρη επιφάνεια του περιγεγραμμένου κυλίνδρου.
Περιγεγραμμένη Σφαίρα σε Κύβο: Μια σφαίρα περιβάλλει έναν κύβο έτσι ώστε οι κορυφές του κύβου να ακουμπούν στην επιφάνεια της σφαίρας. Ποιος είναι ο λόγος της ακτίνας της σφαίρας \(\rho\) προς την ακμή \(L\) του κύβου;
Αν η ακτίνα της σφαίρας είναι ρ=10 cm, να υπολογίσετε την επιφάνεια και τον όγκο των δύο στερεών .
Πόσος είναι ο κενός χώρος ανάμεσα στα δύο στερεά;
- Απάντηση: Ο λόγος είναι \(\frac{\rho}{L} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), επειδή η διάμετρος της σφαίρας ισούται με τη διαγώνιο του κύβου.
- Επιφάνεια και όγκος ………………………….
- Κενός χώρος ……………………..
Σφαίρες μέσα σε Σφαίρα: Μια μεγάλη σφαίρα ακτίνας \(4\) cm περιέχει στο εσωτερικό της δύο μικρότερες σφαίρες διαμέτρου \(4\) cm η καθεμία. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που απομένει στη μεγάλη σφαίρα αν αφαιρέσουμε τις δύο μικρές.
- Λύση: Ο ζητούμενος όγκος προκύπτει από την αφαίρεση του διπλάσιου όγκου των μικρών σφαιρών από τον όγκο της μεγάλης. \(V_{μεγ} \approx 267,9\) \(cm^3\) και \(V_{μικ} \approx 33,5\) \(cm^3\). Το αποτέλεσμα είναι \(200,9\) \(cm^3\).
1.5 Ασκήσεων συνέχεια
- Μια σφαίρα είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύβο ακμής \(a = 6\text{ cm}\). Να υπολογίσετε τον όγκο της σφαίρας και το εμβαδόν της επιφάνειάς της.
Επειδή η σφαίρα είναι εγγεγραμμένη στον κύβο, η διάμετρός της \(d\) ισούται με την ακμή του κύβου: \(d = a = 6\text{ cm}\).
Η ακτίνα της σφαίρας είναι ……………
Ο τύπος του όγκου είναι …………………….
Ο τύπος του εμβαδού είναι ……………………..
- Ένας κύλινδρος έχει ύψος \(υ = 10\text{ cm}\) και ακτίνα βάσης \(ρ = 5\text{ cm}\). Μια σφαίρα με την ίδια ακτίνα \(R=ρ\) τοποθετείται μέσα στον κύλινδρο. Ποιος είναι ο λόγος του όγκου του κυλίνδρου προς τον όγκο της σφαίρας;
Όγκος κυλίνδρου: \(V_{κυλ} = \pi ρ^2 υ =\) ……………………………..
Όγκος σφαίρας: \(V_{σφ} = \dfrac{4}{3}\pi ρ^3 =\) ………………………………….
Λόγος: \(\dfrac{V_{κυλ}}{V_{σφ}} =\) ………………………………………
- Σφαίρα ακτίνας \(ρ=10\text{ cm}\) τέμνεται από επίπεδο που απέχει \(d=6\text{ cm}\) από το κέντρο της. Να βρεθεί η ακτίνα \(r\) του κύκλου τομής.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από την ακτίνα της σφαίρας, την απόσταση του επιπέδου και την ακτίνα του κύκλου, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα: \(ρ^2 = d^2 + r^2\).
Αντικατάσταση: …………………………..
\(r^2 = 64 \Rightarrow r = 8\text{ cm}\).
- Κώνος έχει ακτίνα βάσης \(ρ=3\text{ cm}\) και ύψος \(υ=4\text{ cm}\). Μια σφαίρα έχει τον ίδιο όγκο με τον κώνο. Ποια είναι η ακτίνα \(R\) της σφαίρας;
Όγκος κώνου: …………………………
Εξίσωση όγκων: \(\frac{4}{3}\pi R^3 = 12\pi \Rightarrow\)…………………………
\(R^3 = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9\), άρα \(R = \sqrt[3]{9} \text{ cm}\).
- Ένα στερεό αποτελείται από έναν κύλινδρο ύψους \(υ=10\text{ cm}\) και δύο ημισφαίρες στις βάσεις του, με ακτίνα \(ρ=3\text{ cm}\). Να βρεθεί ο συνολικός όγκος του στερεού.
Όγκος κυλίνδρου: \(V_1 = \pi ρ^2 υ =\) …………………………..
Όγκος δύο ημισφαιρών (μία ολόκληρη σφαίρα): \(V_2 = \dfrac{4}{3}\pi ρ^3 =\) …………………..
Συνολικός όγκος: …………………………..
- Ποιο είναι το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας που είναι περιγεγραμμένη σε κύβο ακμής \(a = 2\text{ cm}\);
Η διάμετρος της σφαίρας ισούται με τη διαγώνιο του κύβου: ………………….
Ακτίνα …………………..
Εμβαδόν ……………………….
Δύο σφαίρες έχουν ακτίνες \(R_1 = 3\text{ cm}\) και \(R_2 = 1\text{ cm}\). Ποιος είναι ο λόγος των επιφανειών τους;
Μια σφαίρα ακτίνας \(R=5\text{ cm}\) έχει ίδιο όγκο με κώνο με ακτίνα βάσης \(ρ=5\text{ cm}\). Ποιο είναι το ύψος του κώνου;
Όγκος σφαίρας: …………………….
Όγκος κώνου: ………………………………
Εξίσωση \(\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{25\pi υ}{3} \Rightarrow ............... υ = 20\text{ cm}\).
Μια σφαίρα έχει ακτίνα \(R = 3 \text{ cm}\). Να υπολογίσετε την επιφάνεια \((E)\) και τον όγκο της \((V)\). (Δίνεται \(\pi \approx 3,14\)).
Αν το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας είναι \(400\pi \text{ cm}^2\), να βρεθεί η ακτίνα της \(R\) και στη συνέχεια ο όγκος της.
Ο όγκος μιας σφαίρας είναι \(36\pi \text{ cm}^3\). Πόσο είναι το εμβαδόν της επιφάνειάς της;
(Σφαίρα μέσα σε Κύβο): Μια σφαίρα είναι εγγεγραμμένη σε κύβο ακμής \(a = 10 \text{ cm}\) (εφάπτεται σε όλες τις έδρες). α) Πόση είναι η ακτίνα της σφαίρας; β) Ποιος είναι ο όγκος που μένει κενός μέσα στον κύβο;
(Κύβος μέσα σε Σφαίρα): Ένας κύβος με ακμή \(a\) είναι εγγεγραμμένος σε σφαίρα. Αν η ακτίνα της σφαίρας είναι \(R = \sqrt{3} \text{ cm}\), να βρεθεί η ακμή του κύβου. (Υπόδειξη: Η διαγώνιος του κύβου ισούται με τη διάμετρο της σφαίρας).
Έχουμε ένα μεταλλικό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις \(2 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}\). Το λιώνουμε και κατασκευάζουμε μια σφαίρα. Ποια θα είναι η ακτίνα της σφαίρας;
Σε μια κυλινδρική δεξαμενή με νερό ρίχνουμε μια σφαιρική μπάλα ακτίνας \(3 \text{ cm}\). Αν η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι \(6 \text{ cm}\), πόσο θα ανέβει η στάθμη του νερού;
Ένα στερεό αποτελείται από ένα ημισφαίριο και έναν κώνο που έχουν την ίδια βάση ακτίνας \(R = 5 \text{ cm}\). Αν το συνολικό ύψος του στερεού είναι \(15 \text{ cm}\), να βρεθεί ο συνολικός όγκος του.
Συγκρίνετε τα εμβαδά επιφανείας μιας σφαίρας ακτίνας \(R\) και ενός κυλίνδρου που έχει ακτίνα βάσης \(R\) και ύψος \(υ = 2R\). Τι παρατηρείτε;
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!